Антон Щербовских родился и жил в Бузулуке. В 2012 году окончил Военную академию войсковой противовоздушной обороны им. А.М. Василевского в Смоленске. В послужном списке оренбуржца участие в операции по присоединению Крыма к России, за что был отмечен правительственной наградой – медалью «За Возвращение Крыма».
В 2020 году Антон участвовал в миротворческой миссии по разрешению военного конфликта между Арменией и Азербайджаном в Нагорном Карабахе. На СВО бузулучанин отправился в июле 2022 года. За воинские умения и отвагу его наградили Орденом Мужества. В декабре 2022 года благополучно вернулся со спецоперации и продолжил нести службу.
«В мае 2023 года во второй раз отправился в зону проведения СВО. 23 июня во время атаки ВСУ отражал ракетные удары противника, выводил раненных товарищей из-под ракетного удара и оказывал медицинскую помощь. Героически погиб, спасая своих товарищей», — рассказали в администрации Бузулука.
Майор войск противовоздушной обороны РФ, Щербовских Антон представлен к награде «Герой России» посмертно. У него остались двое сыновей, жена и родители.